TUGAS I
ALJABAR LINEAR
CONTOH
APLIKASIH LINEAR DALAM KOMPUTER
Contoh
1
Sebuah
Firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu A dan B. Produksi rak
buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan waktu yang
terbatas dari mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3 m2 papan dan tiap unit B
memerlukan 4 m2 papan. Firma memperoleh 1.700 m2 papan tiap minggu dari pemasok
sendiri. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B
membutuhkan 30 menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam.
Jika keuntungan (profit) tiap unit A sebesar Rp 20.000,00 dan tiap unit B
sebesar Rp 40.000,00, berapa banyak unit dari tiap model akan perusahaan
rencanakan untuk produksi tiap minggu.
Apakah
permasalahan di atas merupakan masalah program linier? Dari masalah di atas
ternyata:
a) Terdapat tujuan yang
dicapai yaitu mencapai keuntungan maksimum melalui produksi rak buku jenis A
dan B di mana tiap jenis produksi itu telah direncanakan mempunyai harga
tertentu. Rak buku yang diproduksi banyaknya tak negatif.
b) Terdapat sumber daya
atau masukan (input) yang berada dalam keadaan terbatas. Dalam halini,Firma
mempunyai persediaan, melalui pemasok sendiri, yaitu tiap minggu 1700 m2, dan
waktu kerja mesin pemroses yang terbatas yaitu tiap minggu 160 jam. Jadi
permasalahan di atas merupakan permasalahan program linier.
Pola
umum masalah yang dapat dimodelkan dengan program linier harus memenuhi:
a) adanya pilihan
kombinasi beberapa faktor kegiatan,
b) adanya sumber
penunjang beserta batasnya,
c) adanya fungsi
obyektif/sasaran/tujuan yang harus dioptimumkan,
d) bahwa relasi yang
timbul antara faktor-faktor semuanya linier.
MAT.
14. Program Linear
Sistem Pertidaksamaan
Linear
Anda
sudah mempelajari sebelumnya bahwa penyelesaian persamaan a x + b y = c adalah
himpunan pasangan (x, y), secara geometri dinyatakan dengan garis lurus.
Bagaimana kita dapat menggambar pertidaksamaan linear ax + by ? c dan ax + by ?
c di mana a, b, dan c adalah konstanta?
Langkah-langkah
menggambar pertidaksamaan ax + by ? c adalah:
1.
buat garis ax + by = c, dengan terlebih
dahulu mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. Atau mencari dengan
tabel nilai pasangan (x,y) yang memenuhi ax + by = c, kemudian menghubungkan
kedua titik itu setelah digambar pada bidang Cartesius.
2.
ambil titik (p,q) yang tidak terletak
pada garis ax + by = c, (sering dipilih (0,0) asalkan garis tersebut tidak melalui
(0,0), substitusikan titik tersebut pada ax + by ? c. Jika menjadipernyataan
yang benar maka daerah dimana titik itu berada merupakan daerah selesaian ax +
by ? c.
Dengan cara yang sama
anda dapat menggambar daerah penyelesaian dari ax + by ? c.
Contoh
1
Gambarlah:
a.
2x + 3y = 6
b.
b. 2x + 3y ? 6
c.
2x + 3y ? 6
Penyelesaian
a.
Titik potong 2x + 3y = 6 dengan:
1) sumbu x, jika y = 0,
maka diperoleh 2x + 3.0 = 6 atau 2x = 6, didapat x =3. Jadi koordinat titik
potong dengan sumbu x adalah (3, 0).
2) sumbu y, jika x = 0,
maka diperoleh 2.0 + 3y = 6 atau 3y = 6, didapat y = 2. Jadi koordinat titik
potong dengan sumbu y adalah (0,2). Buatlah garis melalui (3,0) dan (0,2), akan
didapat gambar (I) di bawah. Jadi penyelesaiannya adalah garis.
b.
Untuk menggambar 2x + 3y ? 6,lakukan
langkah-langkah sebagai
berikut:
1) Gambar garis 2x + 3y
= 6.
2) Selidiki daerah yang
memenuhi 2x + 3y ? 6 dengan memilih suatu titik yang tidak terletak pada garis
2x + 3y = 6. Untuk itu dipilih titik (0,0).
3) Mensubstitusikan x =
0 dan y = 0 pada 2x + 3y ? 6, didapat 2.0 + 3.0? 6 atau 0 ? 6 merupakan
pernyataan yang benar.
4) Memberi arsiran
daerah yang memenuhi 2x + 3y ? 6yaitu derah dimana titik (0,0) terletak.
Setelah digambar didapat pwnyelesaian seperti gambar (II) di bawah, yaitu
daerah yang diarsir.
c.
Untuk menggambar 2x + 3y ? 6, lakukan
langkah-langkah sebagai
berikut:
1) Gambar garis 2x + 3y
= 6 seperti menyelesaikan soal (a)
2) Selidiki daerah yang
memenuhi 2x + 3y ? 6 dengan memilih suatu titik yang tidak terletak pada garis
2x + 3y = 6. Untuk itu dipilih titik (0,0)
3) Mensubstitusikan x =
0 dan y = 0 pada 2x + 3y ? 6, didapat 2.0 + 3.0? 6 atau 0 ? 6 merupakan
pernyataan yang salah.
4) Memberi arsiran
daerah yang memenuhi 2x + 3y ? 6 yaitu daerah dimana titik (0,0) tidak
terletak. Setelah digambar didapat penyelesaian seperti gambar (III) di bawah,
yaitu daerah yang diarsir.
2x + 3y = 6
Contoh
2
1) Cari daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan.
2) (1) 2x + 3y ? 12.
3) 3x + 2y ? 12.
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan
sistem pertidaksamaan di atas lakukan kegiatan berikut:
1.Menggambar
garis 2x + 3y = 12 dengan terlebih dulu mencari titik potong dengan sumbu x dan
sumbu y.
2.Memotong
sumbu x, jika y = 0, maka diperoleh 2x + 3.0 = 12 atau 2x = 12,didapat x =6.
Jadi koordinat titik potong dengan sumbu x adalah A(6, 0).
3.
Memotong sumbu y, jika x = 0, maka diperoleh 2.0 + 3y = 12 atau 3y = 12,didapat
y = 4. Jadi koordinat titik potong dengan sumbu y adalah B(0,4)Buatlah garis
melalui (6,0) dan (0,4), akan didapat gambar (1) di bawah. (0,4), (6,0) ,2x +
3y = 12
Gambar (1)
4.
Pilih titik (0,0) dan substitusikan x = 0 dan y = 0 pada 2x + 3y ? 12, didapat
2.0 + 3.0? 12 atau 0 ? 12 merupakan pernyataan yang benar.
5.
Memberi arsiran daerah yang memenuhi 2x + 3y ? 12 yaitu daerah dimana titik
O(0,0) terletak. Setelah digambar didapat penyelesaian ? 12 yaitu daerah dimana
titik O(0,0) terletak. Setelah digambar didapat penyelesaian seperti gambar (2)
di bawah. B (6,0), A(0,4), 2x + 3y = 12 O(0,0)
Gambar (2)
6.
Gambar garis 3x + 2y = 12 melalui titik potong dengan sumbu x yaitu C(4,0) dan
titik potong dengan sumbu y yaitu D(0,6). Anda coba sendiri untuk mendapatkan
titik-titik potong ini dengan cara cara seperti di atas.
7.
Pilih titik (0,0) dan substitusikan x = 0 dan y = 0 pada 3x + 2y ? 12, didapat
3.0 + 2.0? 12 atau 0 ? 12 merupakan pernyataan benar.
8.
Memberi arsiran daerah yang memenuhi 3x + 2y ? 12 yaitu daerah dimana titik
O(0,0) terletak. Setelah digambar didapat penyelesaian seperti gambar (3) di
bawah.B (6,0), A(0,4), 2x + 3y = 12 O(0,0), C(4,0), D(0,6)
9.
Daerah yang terkena dua arsiran memenuhi 2x + 3y ? 12 dan 3x ? 12 dan 3x + 2y ?
12.Daerah yang memenuhi x ? 0 adalah daerah di atas sumbu x, termasuk sumbu x
sendiri dan yang memenuhi y ? 0 dikanan sumbu y, termasuk sumbu y sendiri. Jika
titik E merupakan titik potong antara garis 3x + 2y = 12 dengan garis 2x + 3y =
12, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah OCEA.
Contoh
3
Cari daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan
(1) 3x + 4y ? 12
(2) 7x + 2y ? 14
(3) x ? 0
(4) y ? 0
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan
sistem pertidaksamaan di atas lakukan kegiatan berikut:
1) Menggambar garis 3x
+ 4y = 12 dengan terlebih dulu mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.
2) Memotong sumbu x,
jika y = 0, maka diperoleh 3x + 4y = 12 atau 3x = 12, didapat x = 4. Jadi
koordinat titik potong dengan sumbu x adalah A(6, 0).
3) Memotong sumbu y,
jika x = 0, maka diperoleh 3.0 + 4y = 12 atau 4y = 12, didapat y = 3. Jadi
koordinat titik potong dengan sumbu y adalah B(0,3). Buatlah garis melalui
A(4,0) dan B(0,3).
4) Pilih titik (0,0)
dan substitusikan x = 0 dan y = 0 pada 3x + 4y ? 12, didapat 3.0 + 2.0? 12 atau
0 ? 12 merupakan pernyataan benar. Arsirlah daerah yang memuat titik (0,0).
Daerah itu merupakan penyelesaian dari 3x + 4y ? 12.
5) Menggambar garis 7x
+ 2y =14 dengan terlebih dulu mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.
6) Memotong sumbu x,
jika y = 0, maka diperoleh 7x + 2y =14 atau 7x = 14, didapat x = 2. Jadi
koordinat titik potong dengan sumbu x adalah C(2, 0).
7) Memotong sumbu y,
jika x = 0, maka diperoleh 7x + 2y =14 atau 2y = 14, didapat y = 7. Jadi
koordinat titik potong dengan sumbu y adalah D(0,7). Buatlah garis melalui
C(2,0) dan D(0,7).
8) Pilih titik (0,0)
dan substitusikan x = 0 dan y = 0 pada 7x + 2y ? 14, didapat 7.0 + 2.0? 14 atau
0 ? 14 merupakan pernyataan benar. Arsirlah daerah yang memuat titik (0,0).
Daerah itu merupakan
penyelesaian dari 7x +
2y ? 14.
9) Daerah yang memenuhi
x ? 0 adalah daerah di atas sumbu x, termasuk sumbu x sendiri dan yang memenuhi
y ? 0 dikanan sumbu y, termasuk sumbu y sendiri.
10) Jika titik P
merupakan titik potong antara garis 3x + 4y = 12 dengan garis 7x + 2y = 14,
maka daerah penyelesaiannya adalah daerah OCPB gambar di bawah.
3x+4y=12
7x + 2y =14
Contoh
4
Selesaikan sistem
pertidaksamaan
3x + 2y ? 12
3x + 4y ? 18
x ? 0 dan y ? 0
Penyelesaian
1.Titik
potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu x adalah (4,0) dan titik potong dengan
sumbu y adalah (0,6). Pilih titik (0,0) ternyata memenuhi 3x + 2y ? 12. Jadi
(0,0) terletak pada daerah penyelesaian. Dengan demikian daerah yang memenuhi
3x + 2y ? 12, x ? 0 dan y ? 0 adalah gambar (1) di bawah.
Karena
titik potong garis 3x + 4y = 18 dengan sumbu x adalah (6,0)
dengan sumbu y adalah
(0, ) dimana ordinatnya pecahan, kita
2.gunakan
cara lain yaitu dengan tabel. Untuk x = 6 didapat 3.6 + 4y = 18 atau 4y = 0,
jadi y = 0
Untuk x = 2 didapat 3.2
+ 4y = 18 atau 4y = 12, jadi y = 3
x 6 2
y 0 3
Buatlah garis melalui
(6,0) dan (2,3).
3.
Pilih titik (0,0), ternyata memenuhi 3x + 4y ? 18. Jadi (0,0) terletak pada
daerah penyelesaian. Dengan demikian daerah yang memenuhi 3x + 4y ? 18, x ? 0
dan y ? 0 adalah gambar (3) di bawah.
3.
Daerah yang memenuhi 3x + 2y ? 12, 3x +
4y ? 18, x ? 0 dan y ? 0 adalah daerah OABC seperti gambar (2) di bawah.
Contoh
5
Tentukan penyelesaian
sistem pertidaksamaan
3x + 2y ? 12
3x + 4y ? 18
x ? 0 dan y ? 0
Penyelesaian
1) Titik potong garis
3x + 2y = 12 dengan sumbu x adalah (4,0) dan titik potong dengan sumbu y adalah
(0,6). Pilih titik (0,0), ternyata 3.0 + 2.0 ? 12 atau 0 ? 12 merupakan
pernyataan yang salah. Jadi
(0,0) tidak terletak pada
daerah penyelesaian, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat
(0,0). Dengan demikian daerah yang memenuhi 3x + 2y ? 12, x ? 0 dan y ? 0
adalah gambar (1) di bawah.
2) Titik potong garis
3x + 4y = 18 dengan sumbu x adalah (6,0) dengan sumbu y adalah (0, ). Pilih
titik (0,0), ternyata 3.0 + 4.0 ?12 atau 0 ? 12 merupakan pernyataan yang
salah. Jadi (0,0) tidak terletak pada daerah penyelesaian, daerah
penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat (0,0). Dengan demikian daerah
yang memenuhi 3x + 4y ? 18, x ? 0 dan y ? 0 adalah gambar (2) di bawah.
3) Daerah yang memenuhi
3x + 2y ? 12, 3x + 4y
? 18, x ? 0 dan y ? 0
Gb (1)
adalah daerah terbuka
OABC yang diarsir seperti gambar (3) di samping.Gb (2) GB (3)
Contoh
6
Gambarlah grafik daerah
hasil dari sistem pertidaksamaan 2x + y ? 2 ,4x + 3y ? 12 ,0,5 ? x ? 2 ,
x ? 0 dan y ? 0
Penyelesaian
1) Titik potong garis
2x + y = 2 dengan sumbu x adalah (1,0) dan titik potong dengan sumbu y adalah
(0,2). Pilih titik (0,0) ternyata tidak memenuhi 2x + y ? 12. Jadi (0,0) tidak
terletak pada daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian yang tidak memuat (0,0)
Dengan demikian daerah yang memenuhi 2x + y ? 2, x ? 0 dan y ? 0 adalah gambar
(1) di bawah.
2) Titik potong garis
4x + 3y ? 12 dengan sumbu x adalah (3,0) dengan sumbu y adalah (0, 4). Pilih
titik (0,0) ternyata tidak memenuhi 4x + 3y ? 12. Jadi (0,0) terletak pada
daerah penyelesaian. Dengan demikian daerah yang memenuhi 4x + 3y ? 12, x ? 0
dan y ? 0 adalah gambar (2) di bawah.
3) Pertidaksamaan 0,5 ?
x ? 2 ekuivalen dengan pertidaksamaan x ? 0,5 dan x ? 2. Buatlah garis melalu I
( 2, 0) sejajar sumbu y dan garismelalui
(2,0) sejajar sumbu y. Daerah yang terletak diantara kedua garis ini merupakan
penyelesaian dari 0,5 ? x ? 2 seperti pada gambar (3).
4) Daerah penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan: 2x + y ? 2, 4x + 3y ? 12, 0,5 ? x ? 2, x ? 0 dan y
? 0 adalah daerah arsiran seperti gambar (4) di bawah.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar